奇异值分解

方阵 $\boldsymbol A \in \mathbb R^{M \times M}$ 可以视为一个线性变换。 在一个 $M-1$ 的单位超球面 $\mathcal X := \{\boldsymbol x \in \mathbb R^M \mid \lVert \boldsymbol x \rVert_2 = 1\} = \mathcal S^{M-1}$ 的原空间上，映射后的空间 $\mathcal Y = \{\boldsymbol {Ax} \mid \boldsymbol x \in \mathcal X\}$ 总是一个超椭球体。 类似于超球体可以由正交基定义，一个超椭球体可以通过 $\boldsymbol u_1,\dots,\boldsymbol u_M \in \mathbb R^M$ 这组正交基向量和对应方向上的缩放标量 $\sigma_1, \dots, \sigma_M$ 表示。 如果记 $\boldsymbol v_1, \dots, \boldsymbol v_M \in \mathbb R^M$ 是单纯形 $\mathcal S^{M - 1}$ 上的一组正交基向量，$\boldsymbol \Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_1, \dots, \sigma_M)$ ,那么以下式子成立。 ...